ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර මතක තියා ගන්නේ කොහොමද....?

                       මේක දැවෙන ප්‍රශ්නයක් වුනා maths කරන්න ආව මුල් කාලෙ නම්. සූත්‍ර ටික මුලින්ම දැක්කාම කාටත් ඔය ප්‍රශ්නේ එන්න ඇති. ඒත් ඉතින් ගණන් හදලා අත්දැකීම් එද්දී , maths කරන්න ඇවිත් අවුරුද්දක් විතර යද්දී ඉබේම ඔය ටික මතක හිටිනවා. ඒත් මුලින්ම ඕක මතක තියා ගන්නවා නම් අපට ගොඩක් ලේසි වෙනවා ගණන් ටික හදා ගන්න. ත්‍රිකෝණමිතිය පාඩමට විතරක් නෙවේ pure & applied කොටස් දෙකටම එක එක විදියට මේ සූත්‍ර ටික ඕන වෙනවා.
                      සූත්‍ර ඔක්කොම ටික මතක තියා ගන්න ඕන නැහැ. සූත්‍ර කිහිපයක් භාවිතා කරලා අපි අනිත් සූත්‍ර ටික ඔප්පු කර ගමු. මේකෙදි හැබැයි මෙහෙම දෙයක් තියනවා. මේක ටිකක් දීර්ඝයි සූත්‍ර කටපාඩම් කරනවට වඩා. ඒත් කටපාඩමට වඩා මේක සාර්ථකයි කියලා මට හිතෙනවා. මොකද මේක අපි ටිකක් මහන්සියෙන් ඔළුවට දා ගන්න නිසා. මුලින්ම මේ විදියට කොලේක ලියලා පුරුදු වෙන්න ඕනේ. පුරුදු උනාම මට නම් විනාඩි 2ක් විතර ඇතුළත මේ සූත්‍ර ඔක්කොම ලියා ගන්න පුළුවන්කම ලැබුනා. ඒක තීරණය වෙන්නෙ නම් මේකට කරන කැපවීම මත. මුල් කාලෙදි ත්‍රිකෝණමිතිය ගාණක් හදද්දී මම විනාඩි 2ක් විතර වැය කරලා කටු වැඩ කොලේක සූත්‍ර ඔක්කොම ලියා ගන්නවා. ඒ විනාඩි 2ක පාඩුවක් උනේ නෑ කියලා හිතෙන්නේ ගාණ ඉක්මනින් හදා ගන්න පුළුවන් වෙද්දී. සමහර වෙලාවට මතකේ තියන සූත්‍ර පවා අමතක වෙනවා ගාණ දැක්කාම. ඒ මොකුත් නෑ විනාඩියක් දෙකක් වැය කරලා ඒ ටික ලියා ගත්තා නම්. හැබැයි ඉතින් පස්සෙ නම් ඔහොම ලියා ගන්න ඕන උනේ නෑ. මොකද ගොඩක් සැරයක් ලිව්වාම ගණන් හැදුවාම නිකන්ම සූත්‍ර ටික ඔළුවට එනවා. ඒ පළපුරුද්ද ගන්න මේ මූලික අඩිතාලම දා ගන්න ඕනේ.
                කෙනෙක්ට හිතෙයි ත්‍රිකෝණමිතිය ගාණෙ පොඩි කොටසක් එන්නේ සූත්‍ර භාවිතා කරලා හදන්න, ලකුණුත් ටිකයි ඒ කොටසට ලැබෙන්නේ, මොකටද මේ තරම් නැහෙන්නෙ කියලා. ඔව්... කතාව ඇත්ත. ඒත් මේකට කැපකරන කාලය අපතේ යන්නේ නෑ. මේ සූත්‍ර ටික pure, applied දෙකටම ඕන වෙනවා. සමහර වෙලවල් වලට physics mcq ලේසියෙන් ගොඩ දා ගන්න පුළුවන් මේ ටික මතකේ තියන එකෙන්.
               දැනටමත් සූත්‍ර ටික මතකයි නම්, පාඩම් කරගෙන තියෙනවා නම්, ඒ ක්‍රමෙයෙන් අවුලක් නැතුව ගණන් ටික හදන් යන්න පුළුවන් නම් ආයේ මේ ක්‍රමයට හුරු වෙන්න ඕන නෑ. තමන්ගේ ක්‍රමය දිගටම තියා ගන්න. ඒක වැඩි දියුණු කර ගන්න. මේක ගොඩක්ම වැදගත් වෙන්නේ දැනටමත් සූත්‍ර ටික මතකේ තියා ගන්න බැරි ඒ වගේම කටපාඩම් කරන්න අකමැති අයට. ඒ වගේම අලුතින් maths කරන්න එන නංගිලා මල්ලිලාට.

 පටන් ගමු එහෙනම්.....👉

(1)   sin²θ + cos²θ = 1

(1) සූත්‍රය sin²θ ගෙන් බෙදීමෙන්,

   1+ cot²θ = cosec²θ

(1) සූත්‍රය cos²θගෙන් බෙදීමෙන් 

   tan²θ + 1 = sec²θ

මේ ටික මතක තියා ගන්න. මේ සූත්‍ර වලින් 2A සූත්‍ර සහ 3A සූත්‍ර ලබා ගන්නා ආකාරය පහලින් බලමු.

(2)   sin(A+B) = sinA cosB+ cosA sinB

(3)   sin(A-B) = sinA cosB- cosA sinB

(4)   cos(A+B) = cosA cosB- sinA sinB

(5)   cos(A-B) = cosA cosB+ sinA sinB

(6)   tan(A+B) =  tanA + tanB

                             1 - tanA tanB

(7)   tan(A-B) =   tanA - tanB

                             1 + tanA tanB

2A සූත්‍ර සඳහා

B=A ලෙස ගෙන (2) සූත්‍රයට ආදේශයෙන්,

sin(A+A) = sinAcosA + cosAsinA

sin 2A = 2 sinA cosA

B=A ලෙස ගෙන (4) සූත්‍රයට ආදේශයෙන්,

cos(A+A) = cosAcosA - sinAsinA 

cos 2A = cos²A - sin²A

 (1) සූත්‍රය භාවිතා කර sin සහ cos හි වර්ග පද සඳහා ඉහත සූත්‍රයට වෙන වෙනම ආදේශ කර පහත සූත්‍ර 2ක ලබා ගත හැක.

sin²A = 1 - cos²A
cos²A = 1 - sin²A     ආදේශයෙන්,

cos 2A = 2 cos²A - 1

cos 2A = 1 - 2 sin²A

B=A ලෙස ගෙන (6) සූත්‍රයට ආදේශයෙන්,

    tan(A+A)=  tanA+tanA

                     1 - tanA tanA

tan 2A =   2tanA  

                1-tan²A

tan 2A =   2tanA     සූත්‍රය භාවිතා කර sin 2A  සහ cos 2A සඳහා සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න කරමු.

                1-tan²A

               sin 2A =   2tan A                                        cos 2A =   1-tan²A

                            1+tan²A                                                         1+tan²A 

3A සූත්‍ර සඳහා 

B=2A ලෙස ගෙන (2) සූත්‍රයට ආදේශයෙන්,

sin(A+2A) = sinAcos2A + cosAsin2A

sin3A = sinA (1-2sin²A) + cosA (2sinAcosA)

sin3A = sinA - 2sin³A + 2sinAcos²A

sin3A = sinA - 2sin³A + 2sinA (1-sin²A)

sin3A = sinA - 2sin³A + 2sinA - 2sin³A
sin3A = 3sinA - 4sin³A

 sin 3A = 3 sinA - 4 sin³A

B=2A ලෙස ගෙන (4) සූත්‍රයට ආදේශයෙන්,

cos(A+2A) = cosAcos2A - sinAsin2A

Cos3A = cosA (2cos²A - 1) - sinA (2sinAcosA)

Cos3A = 2 cos³A - cosA - 2 sin²AcosA

Cos3A = 2 cos³A - cosA - 2 (1 - cos²A) cosA

Cos3A = 2 cos³A - cosA - 2 cosA + 2cos³A

Cos3A = 4 cos³A - 3cosA

       cos 3A = 4 cos³A - 3 cosA

B=2A ලෙස ගෙන (6) ට සූත්‍රයආදේශයෙන්,

tan(A+2A)= tanA+tan2A
                    1-tanAtan2A

tan(A+2A)=  tanA+ tan2A
                                1-tan²A  
                      1-tanA×2tanA
                                   1-tan²A

tan3A =  tanA(1-tan²A)+2tanA
                     1-tan²A- 2tan²A

tan3A = tanA- tan³A+2tanA
                       1-3tan²A

tan3A = 3tanA-tan³A
                 1-3tan²A 

tan 3A =  3tanA - tan³A

                   1 - 3 tan²A

පහත සූත්‍ර අපෝහනය සඳහාත් (2) (3) (4) (5) (6) (7) යන සූත්‍ර භාවිතා කරයි.

(2) + (3) න්,

sin(A+B) + sin(A-B) = [sinAcosB+cosAsinB] + [sinAcosB-cosAsinB]

sin(A+B) + sin(A+B) = sinAcosB+ cosAsinB + sinAcosB - cosAsinB 

sin(A+B) + sin(A+B) = 2sinAcosB

(8) 2 sinA cosB = sin(A+B) + sin(A-B)

එලෙසම (2) - (3) න්,

(9) 2 cosA sinB = sin(A+B) - sin(A-B)

එලෙසම (4) + (5) න්,

(10) 2 cosA cosB = cos(A+B) + cos(A-B)

එලෙසම (4) - (5) න්,

(11) 2 sinA sinB = cos(A-B) - cos(A+B)

පළවෙනි එක වගේම මේ ටික සුළු කරලා බලන්න. මේ සූත්‍ර ටික ලැබෙන්නේ නැත්තම් සුළු කිරීම නැවත වතාවක් බලන්න.

C D සූත්‍ර

      C D සූත්‍ර ලබා ගැනීමට ද (2) (3) (4) (5) යන සූත්‍ර භාවිතා කරයි. නමුත් ඉහත සූත්‍ර ලබා ගැනීමට කල සාධනය කල යුතු වේ. එබැවින් ඉහත (8) (9) (10) (11) සූත්‍ර භාවිතා කර පහසුවෙන් මෙම සූත්‍ර ලබා ගනිමු.

(8)  සූත්‍රයට A = C + D  ,  B = C - D ආදේශයෙන්,
                              2                  2

2 sin(A)cos(B) = sin(A+B) + sin(A-B)

2 sin(C+D)cos(C-D) = sin{(C+D) + (C-D)} + sin{(C+D) - (C-D)}
            2              2                   2           2                     2           2

2 sin(C+D)cos(C-D) = sin{ C +  D  + C -  D } + sin{  C  + D -  C  + D}
             2             2                  2     2     2     2                 2     2     2      2

2 sin(C+D)cos(C-D) = sin{C} + sin{D}
            2             2

sinC + sinD = 2 sin C+D  cos C-D

                                 2              2

(9)  සූත්‍රයට A = C + D  ,  B = C - D ආදේශයෙන්,
                             2                  2

sinC - sinD = 2 cos C+D  sin C-D

                                2             2

(10)  සූත්‍රයට A = C + D  ,  B = C - D ආදේශයෙන්,
                               2                  2

cosC + cosD = 2 cos C+D  cos C-D

                             2              2

(11)  සූත්‍රයට A = C + D  ,  B = C - D ආදේශයෙන්,
                               2                   2

cosC - cosD = 2 sin C+D  sin D-C

2              2